Question

19．已知函数$f（x）=\frac{{{2^x}-{2^{-x}}}}{2}，g（x）=\frac{{{2^x}+{2^{-x}}}}{2}$，下列结论错误的是（　　）

• A． 函数f（x）的图象关于原点对称，函数g（x）的图象关于y轴对称
• B． 在同一坐标系中，函数f（x）的图象在函数g（x）的图象的下方
• C． 函数g（x）的值域是[1，+∞）
• D． g（2x）=2f（x）g（x）在（-∞，+∞）恒成立

Answer 1

分析 A中，f（x）是奇函数，图象关于原点对称，g（x）是偶函数，图象关于y轴对称；
B中，f（x）-g（x）＜0，得出f（x）的图象在g（x）的图象下方；
C中，利用基本不等式得出g（x）≥1；
D中，判断g（2x）=2f（x）g（x）只有在x=0时成立．

解答 解：对于A，∵f（-x）=$\frac{{2}^{-x}{-2}^{x}}{2}$=-$\frac{{2}^{x}{-2}^{-x}}{2}$=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，
同理，g（x）是偶函数，图象关于y轴对称，∴A正确；
对于B，∵f（x）-g（x）=$\frac{{2}^{x}{-2}^{-x}}{2}$-$\frac{{2}^{x}{+2}^{-x}}{2}$=-2^-x＜0
∴f（x）的图象在g（x）的图象下方，B正确；
对于C，∵g（x）=$\frac{{2}^{x}{+2}^{-x}}{2}$≥$\frac{2\sqrt{{2}^{x}{•2}^{-x}}}{2}$=1，当且仅当x=0时取“=”，
∴g（x）的值域是[1，+∞），C正确；
对于D，∵g（2x）=$\frac{{2}^{2x}{+2}^{-2x}}{2}$，
2f（x）g（x）=2•$\frac{{2}^{x}{-2}^{-x}}{2}$•$\frac{{2}^{x}{+2}^{-x}}{2}$=$\frac{{2}^{2x}{-2}^{-2x}}{2}$，
∴只有当x=0时，g（2x）=2f（x）g（x），D错误．
故选：D．

点评 本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了作差法比较大小，考查了基本不等式的应用问题，是综合性题目．