Question

10．椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，点P在椭圆C上，且PF₂⊥F₁F₂，|PF₁|=$\frac{14}{3}$，|PF₂|=$\frac{4}{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l过圆x²+y²+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出椭圆的几何量，然后求解椭圆的方程即可．
（2）将求出圆心M的坐标为（-2，1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用A，B关于点M对称，推出x₁+x₂=-4，y₁+y₂=2，点A，B在椭圆上，利用平方差法求出直线的斜率，然后求解直线方程．

解答 解：（1）$2a=|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|=\frac{14}{3}+\frac{4}{3}=6$，∴a=3（2分）
$|{{F_1}{F_2}}|=\sqrt{{{|{P{F_1}}|}^2}-{{|{P{F_2}}|}^2}}$=$2\sqrt{5}$∴$c=\sqrt{5}$从而$b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=2$，
故椭圆C的方程为：$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$（6分）
（2）将圆M的方程配方得（x+2）²+（y-1）²=5，所以圆心M的坐标为（-2，1）（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）因为A，B关于点M对称，所以x₁+x₂=-4，y₁+y₂=2（8分）
又点A，B在椭圆上，所以$\frac{{{x_1}^2}}{9}+\frac{{{y_1}^2}}{4}=1$①$\frac{{{x_2}^2}}{9}+\frac{{{y_2}^2}}{4}=1$②，
①-②得：$\frac{{（{{x_1}+{x_2}}）（{{x_1}-{x_2}}）}}{9}+\frac{{（{{y_1}+{y_2}}）（{{y_1}-{y_2}}）}}{4}=0$，
所以$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{{4（{{x_1}+{x_2}}）}}{{9（{{y_1}+{y_2}}）}}=\frac{8}{9}$（11分）
所以${k_{AB}}=\frac{8}{9}$，经检验${k_{AB}}=\frac{8}{9}$合题意．
故直线l的方程为8x-9y+25=0．（13分）

点评 本题考查直线与椭圆方程的综合应用，圆的方程与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力．