Question

15．设A、B分别是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右顶点，点P在C上且异于A、B两点，若直线AP与BP的斜率之积为-$\frac{1}{3}$，则C的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意可得A（-a，0），B（a，0），设P（x₀，y₀），由题意可得ab的关系式，结合椭圆系数的关系和离心率的定义可得．

解答 解：由题意可得A（-a，0），B（a，0），设P（x₀，y₀），
则由P在椭圆上可得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，∴y₀²=$\frac{{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$•b²，①
∵直线AP与BP的斜率之积为-$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$=-$\frac{1}{3}$，∴$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{1}{3}$，②
把①代入②化简可得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，即$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，∴离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$

点评 本题考查椭圆的简单性质，涉及椭圆的离心率和直线的斜率公式，属中档题．