Question

5．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=6+2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），过点P（0，2）且斜率为k的直线与曲线C₁相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{PQ}$共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲线C₁的方程可写成（x-6）²+y²=4，过P（0，2）且斜率为k的直线方程为y=kx+2，代入曲线C₁的方程可得（1+k²）x²+4（k-3）x+36=0，直线与圆交于两个不同的点A，B等价于△＞0，解出即可．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=（{x_1}+{x_2}，{y_1}+{y_2}）$，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{PQ}$共线等价于-2（x₁+x₂）=6（y₁+y₂），利用根与系数的关系代入解出即可判断出．

解答 解：（Ⅰ）曲线C₁的方程可写成（x-6）²+y²=4，
过P（0，2）且斜率为k的直线方程为y=kx+2，
代入曲线C₁的方程得x²+（kx+2）²-12x+32=0，
整理得（1+k²）x²+4（k-3）x+36=0，①
直线与圆交于两个不同的点A，B等价于△=[4（k-3）²]-4×36（1+k²）=4²（-8k²-6k）＞0，
解得$-\frac{3}{4}＜k＜0$，即k的取值范围为$（{-\frac{3}{4}，0}）$．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=（{x_1}+{x_2}，{y_1}+{y_2}）$，
由方程①，${x_1}+{x_2}=-\frac{4（k-3）}{{1+{k^2}}}$，②
又y₁+y₂=k（x₁+x₂）+4，③
而$P（0，2），Q（6，0），\overrightarrow{PQ}=（6，-2）$，
∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{PQ}$共线等价于-2（x₁+x₂）=6（y₁+y₂），
将②③代入上式，解得$k=-\frac{3}{4}$．
由（Ⅰ）知$k∈（{-\frac{3}{4}，0}）$，故没有符合题意的常数k．

点评 本题考查了圆的参数方程化为直角坐标方程、直线与圆相交问题、向量共线定理、根与系数的关系应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．