Question

17．三棱锥P-ABC中各条棱长都相等，点E是BC中点，则直线PE与AB所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 如图所示，取AC的中点F，连接EF，PF．则EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，可得∠PEF是异面直线PE与AB所成角或其补角．利用余弦定理即可得出．

解答 解：如图所示，取AC的中点F，连接EF，PF．
则EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，∴∠PEF是异面直线PE与AB所成角或其补角．
不妨设AB=2，则EF=1．
PE=PF=$\sqrt{3}$，
∴cos∠PEF=$\frac{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}{2×\sqrt{3}×1}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴直线PE与AB所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了正四面体的性质、三角形中位线定理、余弦定理、异面直线所成的角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．