Question

8．若函数f（x）=sin²ax-$\sqrt{3}sinax•cosax-\frac{1}{2}（a＞0）$的图象与直线y=b相切，并且切点的横坐标依次成公差为$\frac{π}{2}$的等差数列．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f（x）=-sin（2ax+$\frac{π}{6}$），由题意b为f（x）的最大值或最小值，可求b，求得最小正周期，由周期公式可求a．
（Ⅱ）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，即可解得y=f（x）的单调增区间．

解答 （本题满分12分）
解：（Ⅰ）f（x）=sin²ax-$\sqrt{3}sinax•cosax-\frac{1}{2}（a＞0）$
=$\frac{1-cos2ax}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ax-$\frac{1}{2}$
=-sin（2ax+$\frac{π}{6}$），
∵函数y=f（x）的图象与直线y=b相切，
∴b为f（x）的最大值或最小值，即b=-1或b=1，
∵切点的横坐标依次成公差为$\frac{π}{2}$的等差数列，
∴f（x）的最小正周期为$\frac{π}{2}$，即T=$\frac{2π}{|2a|}$=$\frac{π}{2}$，a＞0，
∴a=2，即f（x）=-sin（4x+$\frac{π}{6}$）…6分
（Ⅱ）f（x）的增区间，即为y=sin（4x+$\frac{π}{6}$）的减区间，
∴2kπ+$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，解得：$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}$（k∈Z），
∴y=f（x）的单调增区间为：[$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}$，$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}$]（k∈Z）…12分

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．