Question

18．在复平面内，复数2-i，1+i，4所对应的点分别是A、B、C，四边形ABCD为平行四边形．
（1）求点D所对应的复数；
（2）求?ABCD的对角线BD的长．

Answer 1

分析 （1）由题意知，在复平面内点A、B、C 所对应的坐标分别为（2，-1），（1，1），（4，0），设点D的坐标为（x，y），由于四边形ABCD是平行四边形，可得$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，解出即可得出；
（2）在复平面内点B、D 所对应的坐标分别为（1，1）、（5，-2），利用两点之间的距离公式即可得出．

解答 解：（1）由题意知，在复平面内点A、B、C 所对应的坐标分别为（2，-1），（1，1），（4，0），
设点D的坐标为（x，y），则$\overrightarrow{AB}$=（-1，2），$\overrightarrow{DC}$=（4-x，-y），
∵四边形ABCD是平行四边形，∴$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，即（-1，2）=（4-x，-y），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1=4-x}\\{2=-y}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-2}\end{array}\right.$．
∴点D所对应的复数为5-2i．
（2）∵在复平面内点B、D 所对应的坐标分别为（1，1）、（5，-2），
∴|BD|=$\sqrt{（5-1）^{2}+（-2-1）^{2}}$=5．

点评 本题考查了复数的几何意义、向量的坐标运算、平行四边形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．