Question

9．已知函数f（x）=x²（x-a），则不等式$\frac{f（x）}{x}$+lnx+1≥0对任意的x∈[$\frac{1}{4}$，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，4-8ln2]
• B． （-∞，$\frac{17}{4}$-8ln2]
• C． （-∞，4+8ln2]
• D． （-∞，$\frac{17}{4}$+8ln2]

Answer 1

分析 运用参数分离，可得a≤（x+$\frac{1}{x}$+$\frac{lnx}{x}$）_min，对任意的x∈[$\frac{1}{4}$，+∞）恒成立，令g（x）=x+$\frac{1}{x}$+$\frac{lnx}{x}$，x$≥\frac{1}{4}$，求出导数，再求导数，通过最小值判断g（x）的导数大于0，进而得到g（x）的最小值，即可得到a的范围．

解答 解：不等式$\frac{f（x）}{x}$+lnx+1≥0对任意的x∈[$\frac{1}{4}$，+∞）恒成立，即为
x（x-a）+lnx+1≥0对任意的x∈[$\frac{1}{4}$，+∞）恒成立，
即a≤（x+$\frac{1}{x}$+$\frac{lnx}{x}$）_min，
令g（x）=x+$\frac{1}{x}$+$\frac{lnx}{x}$，x$≥\frac{1}{4}$，
则g′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-lnx}{{x}^{2}}$，
令h（x）=x²-lnx，x$≥\frac{1}{4}$，
h′（x）=2x-$\frac{1}{x}$，当$\frac{1}{4}$$≤x＜\frac{\sqrt{2}}{2}$时，h′（x）＜0，h（x）递减；
当x＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，h′（x）＞0，h（x）递增．
即有x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$处h（x）取得最小值，且为$\frac{1}{2}$-ln$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞0，
则h（x）＞0在x$≥\frac{1}{4}$恒成立，即有g′（x）＞0，
则g（x）在[$\frac{1}{4}$，+∞）递增，
即有x=$\frac{1}{4}$处g（x）取得最小值且为$\frac{17}{4}$-8ln2．
则a≤$\frac{17}{4}$-8ln2．
故选：B．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和最值，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，运用参数分离和构造函数，运用单调性求最值是解题的关键．