Question

19．若S_n和T_n分别表示{a_n}和{b_n}的前n项和，对任意正整数n，有a_n=-n-$\frac{3}{2}$，4T_n=12S_n+13n．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=b_n+$\frac{5}{4}$，若$\frac{100}{{c}_{1}•{c}_{2}}$+$\frac{100}{{c}_{2}•{c}_{3}}$+…+$\frac{100}{{c}_{n}•{c}_{n+1}}$＞11，求n的最小值．

Answer 1

分析 （1）由4T_n=12S_n+13n，可得当n≥2时，4T_n-1=12S_n-1+13（n-1），4b_n=12a_n+13，代入即可得出；
（2）由（1）得：c_n=-3n，于是 $\frac{100}{{c}_{n}{c}_{n+1}}$=$\frac{100}{9}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂项求和”与不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵4T_n=12S_n+13n，
∴当n≥2时，4T_n-1=12S_n-1+13（n-1），4b_n=12a_n+13，
∴${b}_{n}=3{a}_{n}+\frac{13}{4}$=-3n-$\frac{5}{4}$．又b₁=-$\frac{17}{4}$也适合上式，
∴数列{b_n}的通项公式为b_n=-3n-$\frac{5}{4}$．
（2）由（1）得：c_n=b_n+$\frac{5}{4}$=-3n，
于是 $\frac{100}{{c}_{n}{c}_{n+1}}$=$\frac{100}{9}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴$\frac{100}{{c}_{1}•{c}_{2}}$+$\frac{100}{{c}_{2}•{c}_{3}}$+…+$\frac{100}{{c}_{n}•{c}_{n+1}}$=$\frac{100}{9}$$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+$…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$\frac{100}{9}（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{100}{9}$$•\frac{n}{n+1}$，
令$\frac{100}{9}$$•\frac{n}{n+1}$＞11，解得n＞99，
∴n的最小值为100．

点评 本题考查了递推式的应用、“裂项求和”与不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．