Question

11．已知A、B、C三点共线，等差数列{a_n}满足$\overrightarrow{OA}={a}_{4}\overrightarrow{OB}+（{a}_{7}+1）\overrightarrow{OC}$，a₃-a₁₁+a₁₄=-1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n及前n项和S_n；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b_n=|a_n|，试求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用向量共线定理可得：a₄+（a₇+1）=1，又a₃-a₁₁+a₁₄=-1．利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
（II）由a_n≥0，解得$n≤\frac{11}{2}$；当n≤5时，T_n=S_n．当n≥6时，a_n＜0．T_n=2S₅-S_n，即可得出．

解答 解：（I）∵A、B、C三点共线，等差数列{a_n}满足$\overrightarrow{OA}={a}_{4}\overrightarrow{OB}+（{a}_{7}+1）\overrightarrow{OC}$，
∴a₄+（a₇+1）=1，
又a₃-a₁₁+a₁₄=-1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+9d=0}\\{{a}_{1}+5d=-1}\end{array}\right.$，解得a₁=9，d=-2．
∴a_n=11-2n，S_n=-n²+10n．
（II）由a_n≥0，解得$n≤\frac{11}{2}$；
∴当n≤5时，${T}_{n}={S}_{n}=-{n}^{2}$+10n．
当n≥6时，a_n＜0．
∴T_n=2S₅-S_n=n²-10n+50．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+10n，n≤5}\\{{n}^{2}-10n+50，n≥6}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用、含绝对值的数列求和问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．