Question

6．若函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x²+4x+5）在区间（3m-2，m+2）内单调递增，则实数m的取值为（　　）

• A． [$\frac{4}{3}，3$]
• B． [$\frac{4}{3}，2$]
• C． [$\frac{4}{3}，2$）
• D． [$\frac{4}{3}，+∞$）

Answer 1

分析 由对数函数和二次函数的性质易得函数的单调递增区间，只需让（3m-2，m+2）是其子区间即可，由此可得m的不等式组，解不等式组可得．

解答 解：先保证对数有意义-x²+4x+5＞0，解得-1＜x＜5，
又可得二次函数y=-x²+4x+5的对称轴为x=-$\frac{4}{2×（-1）}$=2，
由复合函数单调性可得函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x²+4x+5）的单调递增区间为（2，5），
要使函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x²+4x+5）在区间（3m-2，m+2）内单调递增，
只需$\left\{\begin{array}{l}{3m-2≥2}\\{m+2≤5}\\{3m-2＜m+2}\end{array}\right.$，解关于m的不等式组得$\frac{4}{3}$≤m＜2，
故选：C．

点评 本题考查对数函数的性质，涉及复合函数的单调性和不等式组的解法，属基础题．