Question

17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，满足：$\frac{sinB-sinA}{sinC}=\frac{a+c}{a+b}$．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若sinAcosC=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，求角C的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\frac{sinB-sinA}{sinC}=\frac{a+c}{a+b}$ 利用正弦定理求得a²+c²-b²=-ac，可得cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$ 的值，进而求得B的值．
（Ⅱ）根据A+C=π-B=$\frac{π}{3}$，利用三角恒等变换化简sinAcosC=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，求得 sin（2C-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，从而求得C的值．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，由$\frac{sinB-sinA}{sinC}=\frac{a+c}{a+b}$ 利用正弦定理可得$\frac{b-a}{c}$=$\frac{a+c}{a+b}$，
化简可得a²+c²-b²=-ac，故cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=-$\frac{1}{2}$，∴B=$\frac{2π}{3}$．
（Ⅱ）∵A+C=π-B=$\frac{π}{3}$，∴sinAcosC=sin（$\frac{π}{3}$-C）cosC=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC-$\frac{1}{2}$sinC）cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos²C-$\frac{1}{2}$sinCcosC
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（1+cos2C）-$\frac{1}{4}$sin2C=$\frac{1}{2}$sin（2C-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，
∴sin（2C-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$．
再结合C∈（0，$\frac{π}{3}$），可得2C-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$），故2C-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$，∴C=$\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，三角恒等变换，根据三角函数的值求角，属于中档题．