Question

9．若函数f（x）=sin²ax-$\sqrt{3}$sinax•cosax-$\frac{1}{2}$（a＞0）的图象与直线y=b相切，并且切点的横坐标依次成公差为$\frac{π}{2}$的等差数列．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若x₀∈[0，$\frac{π}{2}$]，且x₀是y=f（x）的零点，试写出函数y=f（x）在[x₀，x₀+$\frac{π}{2}$]上的单调增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f（x）=$-sin（{2ax+\frac{π}{6}}）$，根据题意b为f（x）的最大值或最小值，可求b，由已知求周期后，根据周期公式即可求得a．
（Ⅱ）由题意知$sin（{4{x_0}+\frac{π}{6}}）=0$，则可求${x_0}=\frac{kπ}{4}-\frac{π}{24}（{k∈Z}）$，由$0≤\frac{kπ}{4}-\frac{π}{24}≤\frac{π}{2}（{k∈Z}）$得k的值，从而可分类讨论得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）$f（x）={sin^2}ax-\sqrt{3}sinax•cosax-\frac{1}{2}=\frac{1-cos2ax}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ax-\frac{1}{2}$=$-sin（{2ax+\frac{π}{6}}）$
∵y=f（x）的图象与直线y=b相切，
∴b为f（x）的最大值或最小值，即b=-1或b=1，
∵切点横坐标依次成公差为$\frac{π}{2}$的等差数列，
∴f（x）的最小正周期为$\frac{π}{2}$，即$T=\frac{2π}{{|{2a}|}}=\frac{π}{2}$，a＞0，
∴a=2，即$f（x）=-sin（{4x+\frac{π}{6}}）$；…（6分）
（Ⅱ）由题意知$sin（{4{x_0}+\frac{π}{6}}）=0$，则$4{x_0}+\frac{π}{6}=kπ（{k∈Z}）$，
∴${x_0}=\frac{kπ}{4}-\frac{π}{24}（{k∈Z}）$，由$0≤\frac{kπ}{4}-\frac{π}{24}≤\frac{π}{2}（{k∈Z}）$得k=1或k=2，
因此${x_0}=\frac{5π}{24}$或${x_0}=\frac{11π}{24}$．
当${x_0}=\frac{5π}{24}$时，y=f（x）的单调增区间为$[{\frac{5π}{24}，\frac{π}{3}}]$和$[{\frac{7π}{12}，\frac{17π}{24}}]$，
当${x_0}=\frac{11π}{24}$时，y=f（x）的单调增区间为$[{\frac{7π}{12}，\frac{5π}{6}}]$．…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，等差数列的通项公式，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．