Question

1．经过P（-2，3）作直线交抛物线y²=-8x于A，B两点．
（1）若线段AB被P平分，求AB所在直线方程；
（2）当直线的倾斜角为$\frac{π}{4}$时，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）由题意可得直线AB的斜率存在，且不为0，设直线AB：x+2=m（y-3），代入抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，可得m，进而得到所求直线方程；
（2）求得直线AB的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到．

解答 解：（1）由题意可得直线AB的斜率存在，且不为0，
设直线AB：x+2=m（y-3），
代入抛物线方程可得，
y²+8my-8（3m+2）=0，
判别式为64m²+32（3m+2）＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有y₁+y₂=-8m，
由-8m=6，可得m=-$\frac{3}{4}$，
代入判别式大于0成立，
则所求直线AB的方程为4x+3y-1=0；
（2）由题意可得直线AB的方程为y-3=x+2，
即为y=x+5，
代入抛物线方程，可得x²+18x+25=0，
即有x₁+x₂=-18，x₁x₂=25，
则|AB|=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（-18）^{2}-100}$=8$\sqrt{7}$．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线方程和直线方程联立，消去未知数，运用韦达定理和中点坐标公式和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．