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    12．设向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，sinx），x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
    （1）若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，求x的值；
    （2）设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$，求f（x）的最大值，f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后得到g（x），求函数g（x）的单调区间．

    分析 （1）由条件利用两个向量的数量积公式和同角三角函数的基本关系求得tanx的值，可得x的值．
    （2）利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换化简函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数g（x）的单调调性．

    解答 解：（1）根据向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，sinx），
    再根据|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，可得3sin2x+sin2x=cos2x+sin2x，解得tanx=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
    再根据x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得x=$\frac{π}{6}$．
    （2）∵函数f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
    又x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，故sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，f（x）∈[0，$\frac{3}{2}$]．
    f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后得到g（x）=sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]+$\frac{1}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
    令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，求得 kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，故函数g（x）的减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈z．
    再结合x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得函数g（x）的减区间为[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
    同理求得函数g（x）的增区间为[0，$\frac{π}{6}$]．

    点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，同角三角函数的基本关系，三角恒等变换，正弦函数的单调区间，属于中档题．

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