Question

4．如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（　　）

• A． 异面直线A′E与BD不可能垂直
• B． 恒有平面A′GF⊥平面BCDE
• C． 三棱锥A′-EFD的体积有最大值
• D． 动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上

Answer 1

分析 A．建立空间直角坐标系，不妨设BC=4，则E（0，1，0），B$（\sqrt{3}，-2，0）$，A$（-\sqrt{3}，0，0）$，A′（x，0，z）．由$\overrightarrow{{A}^{′}E}•\overrightarrow{AB}$=$-2\sqrt{3}x-2$=0，解得x，因此取A′$（-\frac{\sqrt{3}}{3}，0，\frac{\sqrt{26}}{3}）$，可得A′E⊥AB，即可判断出正误；
B．由于ED⊥FG，ED⊥GA′，可得ED⊥平面A′GF，即可判断出正误；
C．恒有平面A′DE⊥平面BCDE时，三棱锥A′-EFD的体积有最大值$\frac{1}{3}{S}_{△DEF}•{A}^{′}G$，即可判断出正误；
D．由A可知动点：A′在平面ABC上的射影在线段AF上，即可判断出正误．

解答 解：如图所示，
A．建立空间直角坐标系，不妨设BC=4，则E（0，1，0），B$（\sqrt{3}，-2，0）$，A$（-\sqrt{3}，0，0）$，A′（x，0，z）．$\overrightarrow{{A}^{′}E}$=（-x，1，-z），$\overrightarrow{AB}$=$（2\sqrt{3}，-2，0）$，由$\overrightarrow{{A}^{′}E}•\overrightarrow{AB}$=$-2\sqrt{3}x-2$=0，解得x=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$，z=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{26}}{3}$．因此取A′$（-\frac{\sqrt{3}}{3}，0，\frac{\sqrt{26}}{3}）$，可得A′E⊥AB，因此A不正确．
B．∵ED⊥FG，ED⊥GA′，FG∩GA′，∴ED⊥平面A′GF，∴恒有平面A′GF⊥平面BCDE．
C．恒有平面A′DE⊥平面BCDE时，三棱锥A′-EFD的体积有最大值$\frac{1}{3}{S}_{△DEF}•{A}^{′}G$，正确；
D．由A可知动点：A′在平面ABC上的射影在线段AF上，正确．
故选：A．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、勾股定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．