Question

14．我们把形如y=f（x）^φ（x）的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得lny=lnf（x）^φ（x）=φ（x）lnf（x），两边对x求导数，得$\frac{y′}{y}$=φ′（x）lnf（x）+φ（x）$\frac{f′（x）}{f（x）}$，于是y′=f（x）^φ（x）[φ′（x）lnf（x）+φ（x）$\frac{f′（x）}{f（x）}$]，运用此方法可以求得函数y=x^x（x＞0）在（1，1）处的切线方程是y=x．

Answer 1

分析 由新定义，可得由f（x）=x，g（x）=x，所以f′（x）=1，g′（x）=1，所以y′=（1•lnx+x•$\frac{1}{x}$）x^x，令x=1即可得到切线的斜率，再由点斜式方程，可得切线方程．

解答 解：由f（x）=x，g（x）=x，
所以f′（x）=1，g′（x）=1，所以y′=（1•lnx+x•$\frac{1}{x}$）x^x，
所以y′|_x=1=[（1•lnx+x•$\frac{1}{x}$）x^x]_x=1=1，
即：函数y=x^x（x＞0）在（1，1）处的切线的斜率为1，
故切线方程为：y-1=x-1，即y=x，
故答案为：y=x．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程，同时考查对数法求导数的方法，考查运算能力，属于中档题．