Question

5．若半径为r的圆C：x²+y²+Dx+Ey+F=0的圆心C到直线l：Dx+Ey+F=0的距离为d，其中D²+E²=F²，且F＞0．
（1）求F的范围；
（2）求证：d²-r²为定值；
（3）是否存在定圆M，使得圆M既与直线l相切又与圆C相离？若存在，请求出定圆M的方程，并给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据圆的标准方程求出即可；（2）先求出圆心和半径以及圆心C到直线l的距离d，从而得到答案；（3）分别证明圆M与直线l相切，圆M与圆C相离，从而证出结论．

解答 解：（1）∵D²+E²＞4F，又D²+E²=F²，且F＞0，
∴F²＞4F，解得：F＞4；
（2）易得圆C的圆心C（-$\frac{D}{2}$，-$\frac{E}{2}$），半径r=$\frac{\sqrt{{D}^{2}{+E}^{2}-4F}}{2}$=$\frac{\sqrt{{F}^{2}-4F}}{2}$，
圆心C到直线l的距离d=$\frac{|D×（-\frac{D}{2}）+E×（-\frac{E}{2}）+F|}{\sqrt{{D}^{2}{+E}^{2}}}$=$|\frac{F-2}{2}|$，
∴d²-r²=${|\frac{F-2}{2}|}^{2}$-${（\frac{\sqrt{{F}^{2}-4F}}{2}）}^{2}$=1；
（3）存在定圆M：x²+y²=1满足题意，
证明如下：
1°：∵M（0，0）到直线l的距离为：$\frac{|F|}{\sqrt{{D}^{2}{+E}^{2}}}$=1=R，
∴圆M与直线l相切；
2°：∵CM=$\sqrt{{（0+\frac{D}{2}）}^{2}{+（0+\frac{E}{2}）}^{2}}$=$\frac{F}{2}$，且R+1=$\frac{\sqrt{{F}^{2}-4F}}{2}$+1，
∴$\frac{F}{2}$＞$\frac{\sqrt{{F}^{2}-4F}}{2}$+1?${（\frac{F}{2}-1）}^{2}$＞$\frac{{F}^{2}-4F}{4}$?4＞0，
∴CM＞R+1，∴圆M与圆C相离，
综上，存在定圆M：x²+y²=1满足题意．

点评 本题考察了直线和圆的位置关系，考察圆的标准方程，是一道中档题．