Question

20．已知等差数列{a_n}满足：a₃=7，a₅+a₇=26．{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{4}{{{a_n}^2-1}}$（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，由于a₃=7，a₅+a₇=26，可得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+2d=7\\ 2{a_1}+10d=26\end{array}\right.$，解得a₁，d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
（Ⅱ）由（I）可得b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₃=7，a₅+a₇=26，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+2d=7\\ 2{a_1}+10d=26\end{array}\right.$，解得a₁=3，d=2，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1；
S_n=$3n+\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²+2n．  
（Ⅱ）${b_n}=\frac{4}{{{a_n}^2-1}}$=$\frac{4}{{（2n+1{）^2}-1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=$1-\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．