Question

5．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-a²x+$\frac{1}{2}$a（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，函数g（x）=f（x）-b恰有3个零点，求实数b的取值范围；
（Ⅱ）若对任意x∈[0，+∞），有f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得a=1的函数f（x）的导数，求得单调区间和极值，由题意可得，只要b介于极小值和极大值之间；
（Ⅱ）求得f（x）的导数，对a讨论，当a=0时，当a＞0时，当a＜0时，求得单调区间，即可得到最小值，再由不等式恒成立思想即可得到．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=x²-1=（x+1）（x-1），
令f′（x）=0，x₁=-1，x₂=1，
当x变化时，f′（x），f（x）的取值情况如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

$f（{-1}）=\frac{7}{6}$，$f（1）=-\frac{1}{6}$，
所以，实数b的取值范围是$（-\frac{1}{6}，\frac{7}{6}）$．
（Ⅱ）f′（x）=（x+a）（x-a），令f′（x）=0，x₁=-a，x₂=a，
（1）当a=0时，f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴f（x）_min=f（0）=0不合题意；                               
（2）当a＞0时，f（x）在（0，a）上是减函数，在（a，+∞）上为增函数，
∴f（x）_min=f（a）＞0，得$0＜a＜\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；                           
（3）当a＜0时，f（x）在（0，-a）上是减函数，在（-a，+∞）上为增函数，
∴f（x）_min=f（-a）＜f（0）＜0，不合题意．
综上，$0＜a＜\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式恒成立思想转化为求函数的最值，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．