Question

4．已知函数f（x）=-x³+3x²+ax+b（a，b∈R），f′（x）是函数f（x）的导函数，且f′（-1）=0
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[-2，4]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用f′（-1）=0，求出a，利用导数的正负可得f（x）的单调区间；
（2）由（1）f（x）在[-2，-1]与[3，4]上单调递减，在（-1，3）上单调递增，即可求函数f（x）在[-2，4]上的最值．

解答 解：（1）∵f（x）=-x³+3x²+ax+b，
∴f′（x）=-3x²+6x+a，
∴f′（-1）=-9+a=0，
∴a=9，
∴f′（x）=-3（x+1）（x-3），
由f′（x）＞0得-1＜x＜3；f′（x）＜0得x＜-1或x＞3，
∴函数f（x）在（-1，3）上单调递增，在（-∞，-1）、（3，+∞）上单调递减；
（2）由（1）f（x）在[-2，-1]与[3，4]上单调递减，在（-1，3）上单调递增，
又f（-2）=2+b，f（-1）=-5+b，f（3）=27+b，f（4）=20+b，
∴f（x）_min=f（-1）=-5+b，f（x）_max=f（3）=27+b．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，正确求导数是关键．