Question

9．已知f（n）=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$，g（n）=$\frac{1}{2}$（3-$\frac{1}{{n}^{2}}$），n∈N^*．
（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；
（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，f（1）=1=g（1）；当n=2时，f（2）=$\frac{9}{8}$，g（2）=$\frac{11}{8}$，f（2）＜g（2）；同理可得：当n=3时，f（3）＜g（3）．
（2）由（1）猜想：f（n）≤g（n），利用数学归纳法证明即可．

解答 解：（1）当n=1时，f（1）=1=g（1）；
当n=2时，f（2）=$\frac{9}{8}$，g（2）=$\frac{11}{8}$，∴f（2）＜g（2）；
当n=3时，f（3）=$\frac{251}{216}$，g（3）=$\frac{312}{216}$，∴f（3）＜g（3）．
（2）由（1）猜想：f（n）≤g（n），下面利用数学归纳法证明：①当n=1，2，3时，不等式成立．
②假设当n=k（k∈N^*）（k≥3）时，不等式成立，即1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{k}^{2}}$＜$\frac{1}{2}$（3-$\frac{1}{{k}^{2}}$）．
则当n=k+1时，则f（k+1）=f（k）+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$$＜\frac{1}{2}（3-\frac{1}{{k}^{2}}）$+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$，
∵$\frac{1}{2（k+1）^{2}}-\frac{1}{2{k}^{2}}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$=$\frac{-3k-1}{2（k+1）^{2}{k}^{2}}$＜0，∴$-\frac{1}{2{k}^{2}}+\frac{1}{（k+1）^{2}}$$＜-\frac{1}{2（k+1）^{2}}$，
∴f（k+1）＜$\frac{3}{2}-\frac{1}{2（k+1）^{2}}$=g（k+1），即当n=k+1时，不等式成立．由①②可知：对?n∈N^*，都有f（n）≤g（n）．

点评 本题考查了数学归纳法的应用、观察分析猜想归纳能力，考查了计算能力，属于中档题．