Question

14．已知非零向量$\overrightarrow a$，$\vec b$满足$|{\overrightarrow a}$|=1且$（{\overrightarrow a-\overrightarrow b}）•（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）=\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\frac{1}{2}$，求向量$\overrightarrow a$，$\vec b$的夹角；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求$|{\overrightarrow a-2\overrightarrow b}$|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先求出$\overrightarrow{b}$的模，然后根据向量的数量积公式求夹角；
（Ⅱ）要求模，先求其平方，转化为向量的平方和数量积的计算解答．

解答 解：（Ⅰ）∵$（{\overrightarrow a-\overrightarrow b}）•（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）=\frac{1}{2}$
∴${\overrightarrow a^2}-{\overrightarrow b^2}=|\overrightarrow a{|^2}-|\overrightarrow b{|^2}=\frac{1}{2}$…（2分）
又∵$|{\overrightarrow a}|=1$，∴$|{\overrightarrow b}|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（3分）
∴$cos＜\overrightarrow a，\overrightarrow b＞=\frac{\overrightarrow a•\overrightarrow b}{|\overrightarrow a||\overrightarrow b|}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（5分）
∴向量$\overrightarrow a，\vec b$的夹角为$\frac{π}{4}$．…（6分）
（Ⅱ）$|{\overrightarrow a-2\overrightarrow b}|=\sqrt{{{（\overrightarrow a-\overrightarrow{2b}）}^2}}=\sqrt{{{\overrightarrow a}^2}-4\overrightarrow a•\overrightarrow b+4{{\overrightarrow b}^2}}=1$…（12分）

点评 本题考查了平面向量的数量积公式的运用以及其向量的模．