Question

3．已知不等式|a-2x|＞x-1，对任意x∈[1，2]恒成立，则a的取值范围为（-∞，2）∪（5，+∞）．

Answer 1

分析 依题意，只需考虑x∈[1，2]的情况即可．对a-2x的符合讨论，利用恒成立思想即可求得答案．

解答 解：由于当x＜1时，不等式|a-2x|＞x-1恒成立，与a无关．
故我们只需考虑x∈[1，2]的情况．
（1）当a-2x≥0，即a≥2x时，得到a-2x＞x-1，解得a＞3x-1，
又x∈[1，2]，
∴a＞（3x-1）_max，
∵y=3x-1在x∈[1，2]上单调递增，
∴x=2时，（3x-1）_max=5，
∴a＞5（a≥4与a＞5的公共部分）；
（2）当a-2x≤0，即a≤2x时，
由a-2x＜-x+1，解得a＜x+1，
∴a＜（x+1）_min，
∵y=x+1在x∈[1，2]上单调递增，
∴x=1时，（x+1）_min=2，
∴a＜2（a≤2与a＜2的公共部分）．
综合上述，a的取值范围为a＜2或者a＞5．
故答案为：（-∞，2）∪（5，+∞）．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想与不等式思想，对a-2x的符合讨论以去掉绝对值符号是关键，属于难题．