Question

8．已知A、B是单位圆（O为圆心）上的两个定点，且∠AOB=30°，若C为该圆上的动点，且$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$（x，y∈R），则xy的最大值为2-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 对$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$两边平方得出x，y的关系，利用不等式的性质求出xy的最大值．

解答 解：∵|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=1×1×cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，∴x²+y²+$\sqrt{3}$xy=1，
即x²+y²=1-$\sqrt{3}$xy，又x²+y²≥2xy，
∴1-$\sqrt{3}$xy≥2xy，
∴xy≤$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$．
故答案为：2-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，基本不等式的应用，属于中档题．