Question

17．设F₁（-c，0），F₂（c，0）分别为椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{4-m}$=1的左、右焦点．
（1）若椭圆的离心率是$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求椭圆的方程，并写出m的取值范围；
（2）设P（x₀，y₀）为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线F₂P与y轴相交于点Q，若以PQ为直径的圆经过点F₁，证明：点P在直线x+y-2=0上．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的性质，m＞4-m，4-m＞0，即可求得m的取值范围，求得a=m，c²=2m-4，由离心率公式e=$\frac{c}{a}$，即可求得m的值，求得椭圆方程；
（2）设P（x₀，y₀），分别求得直线F₁P的斜率及直线F₁Q的斜率${k}_{{F}_{1}P}$和${k}_{{F}_{1}Q}$，由${k}_{{F}_{1}P}$•${k}_{{F}_{1}Q}$=-1，代入求得$\frac{{x}_{0}^{2}}{m}+\frac{{y}_{0}^{2}}{4-m}=1$，x₀＞0，y₀＞0，即可求得x₀+y₀=2，点P在直线x+y-2=0上．

解答 解：（1）由$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{4-m}$=1焦点在x轴上，
∴m＞4-m，解得：m＞2，
4-m＞0，m＜4，
∴m的取值范围（2，4）
c²=m-（4-m）=2m-4，
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{2m-4}{m}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
解得：m=3，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）证明：由题意可知：c²=m-（4-m）=2m-4，
设P（x₀，y₀），由题意可知：x₀≠0，
则直线F₁P的斜率${k}_{{F}_{1}P}$=$\frac{{y}_{0}}{{c+x}_{0}}$，直线F₂P的斜率${k}_{{F}_{2}P}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-c}$，
∴直线F₂P的方程为：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-c}$（x-c），
当x=0时，y=-$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-c}$c，即点Q（0，-$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-c}$c），
∴直线F₁Q的斜率${k}_{{F}_{1}Q}$=$\frac{{y}_{0}}{c-{x}_{0}}$，
∵以PQ为直径的圆经过点F₁，
∴${k}_{{F}_{1}P}$•${k}_{{F}_{1}Q}$=$\frac{{y}_{0}}{{c+x}_{0}}$•$\frac{{y}_{0}}{c-{x}_{0}}$=-1，
化简得：${y}_{0}^{2}$=${x}_{0}^{2}$-（2m²-4），
∵P为椭圆E上的一点，且在第一象限内，
∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{m}+\frac{{y}_{0}^{2}}{4-m}=1$，x₀＞0，y₀＞0，
解得：x₀=$\frac{{a}^{2}}{2}$，y₀=2-$\frac{1}{2}$a²，
∴x₀+y₀=2，
∴即点P直线x+y-2=0上．

点评 本题考查椭圆的定义及其标准方程，直线与圆的位置关系，斜率等基础知识，考查运算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．