Question

3．已知函数f（x）=x²-2lnx
（Ⅰ） 求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）＞x（x+a）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．
（Ⅱ）利用参数分离法进行参数分离，构造函数，求函数的导数，了利用导数研究函数的最值即可．

解答 解：（?）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
${f^/}（x）=2x-\frac{2}{x}=\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，
函数f（x）的单调递减区间为（0，1）
（Ⅱ）由f（x）＞x（x+a）得x²-2lnx＞x（x+a），
∴ax＜-2lnx，
∴$a＜-\frac{2lnx}{x}$
记$g（x）=-\frac{2lnx}{x}$，
则${g^/}（x）=-\frac{2-2lnx}{x^2}$，
令g′（x）=0得x=e
当x∈（0，e）时，g′（x）＜0；
当x∈（e，+∞）时，g′（x）＞0
∴g（x）的最小值为$g（e）=-\frac{2}{e}$，
于是$a＜-\frac{2}{e}$
所以实数a的取值范围是$（-∞，-\frac{2}{e}）$．

点评 本题主要考查函数单调性的判断，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．考查学生的计算能力．