Question

15．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ax+a，x≤0}\\{xlnx，x＞0}\end{array}\right.$ 的图象上有且仅有两对点关于原点对称，则a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{e}$）
• B． （0，$\frac{1}{e}$）∪（1，e）
• C． （1，+∞）
• D． （0，1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ax+a，x≤0}\\{xlnx，x＞0}\end{array}\right.$ 的图象上有且仅有两对点关于原点对称，则函数y=-ax+a，x＞0的图象与函数y=xlnx的图象有且只有两个交点，进而可得答案．

解答 解：若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ax+a，x≤0}\\{xlnx，x＞0}\end{array}\right.$ 的图象上有且仅有两对点关于原点对称，
则函数y=-ax+a，x＞0的图象与函数y=xlnx的图象有且只有两个交点，
函数y=-ax+a，x＞0的图象与函数y=xlnx的图象均过（1，0）点，
且当0＜x＜1时，y=xlnx的导函数值y′＜1，
当x=1时，y=xlnx的导函数值y′=1，
当x＞1时，y=xlnx的导函数值y′＞1，
故当a≤0，或a=1时，函数y=-ax+a，x＞0的图象与函数y=xlnx的图象有且只有一个交点，
当a＞0且a≠1时，函数y=-ax+a，x＞0的图象与函数y=xlnx的图象有且只有两个交点，
故a∈（0，1）∪（1，+∞），
故选：D．

点评 本题考查的知识点是函数的零点，及函数零点个数的判断，函数图象的交点，难度中档．