Question

7．已知函数f（x）=x³+ax²+bx（x≠0）只有一个零点x=3．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若函数g（x）=f（x）+mlnx在区间[0，2]上有极值点，求m取值范围
（III）是否存在两个不等正数s，t（s＜t），当x∈[s，t]时，函数f（x）=x³+ax²+bx的值域也是[s，t]，若存在，求出所有这样的正数s，t，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）若函数f（x）=x³+ax²+bx（x≠0）只有一个零点x=3．则方程x²+ax+b=0有两个相等的根3，进而可得a，b值；
（II）若函数g（x）=f（x）+mlnx在区间[0，2]上有极值点，则g′（x）=3x²-12x+9+$\frac{m}{x}$在区间[0，2]上有变号零点，即h（x）=3x³-12x²+9x+m在区间[0，2]上有变号零点，进而可得m取值范围
（III）若存在两个不等正数s，t（s＜t），当x∈[s，t]时，函数f（x）=x³+ax²+bx的值域也是[s，t]，则s，t是x³-6x²+9x=x的两个大于3的根，进而可得结论．

解答 解：（I）∵函数f（x）=x³+ax²+bx（x≠0）只有一个零点x=3．
∴方程x²+ax+b=0有两个相等的根3，
即3+3=-a，3×3=b，
解得：a=-6．b=9，
∴f（x）=x³-6x²+9x（x≠0）；
（II）若函数g（x）=f（x）+mlnx=x³-6x²+9x+mlnx在区间[0，2]上有极值点，
则g′（x）=3x²-12x+9+$\frac{m}{x}$在区间[0，2]上有变号零点，
即h（x）=3x³-12x²+9x+m在区间[0，2]上有变号零点，
∵h′（x）=9x²-24x+9=3（3x+1）（x-3）＜0在区间[0，2]上恒成立，
故h（x）在区间[0，2]上为减函数，
故h（0）h（2）=m（m-6）＜0，
解得：m∈（0，6）；
（III）∵函数f（x）=x³-6x²+9x，
∴f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
令f′（x）＜0，则x∈（1，3），
令f′（x）＞0，则x∈（-∞，1），或x∈（3，+∞），
故函数f（x）在（-∞，1），（3，+∞）递增，在（1，3）上递减，
又∵当x=3时，函数值为0，
若存在两个不等正数s，t（s＜t），当x∈[s，t]时，函数f（x）=x³+ax²+bx的值域也是[s，t]，
则s，t是x³-6x²+9x=x的两个大于3的根，
解x³-6x²+9x=x得：x=0，x=2，x=4，
故不存在正数s，t满足条件．

点评 本题考查的知识点是函数解析式的求法，利用导数研究函数的极值，函数的零点，函数的定义域和值域，难度中档．