Question

17．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：

日期	12月1日	12月2日	12月3日	12月4日	12月5日
温差x（℃）	10	11	13	12	8
发芽y（颗）	23	25	30	26	16

该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，剩下的2组数据用于回归方程检验．
（1）若选取的是12月1日与12月5日的2组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程$\stackrel{∧}{y}=\stackrel{∧}{b}x+\stackrel{∧}{a}$；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？
（3）请预测温差为14℃的发芽数．
其中
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{{x}^{\;}}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根据所给的数据，先做出x，y的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．
（2）根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，就认为得到的线性回归方程是可靠的，根据求得的结果和所给的数据进行比较，得到所求的方程是可靠的．
（3）将x=14代入（1）中所得的回归直线方程，即可得到温差为14℃的预报值．

解答 解：（1）由数据，求得$\overline{x}$=12，$\overline{y}$=27．
由公式，求得$\widehat{b}$=2.5，$\widehat{a}$=27-2.5×12=-3
∴y关于x的线性回归方程为y^=2.5x-3．
（2）当x=10时，$\stackrel{∧}{y}$=2.5×10-3=22，|22-23|＜2；
同样当x=8时，$\stackrel{∧}{y}$=2.5×8-3=17，|17-16|＜2；
∴该研究所得到的回归方程是可靠的．
（3）当x=14时，$\stackrel{∧}{y}$=2.5×14-3=32，即温差为14℃的发芽数约为32颗．

点评 本题可选等可能事件的概率，考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，考查估计验算所求的方程是否是可靠的，是一个综合题目．