Question

10．将曲线C₁：x²+y²=1上所有点的横坐标伸长到原来的$\sqrt{2}$倍（纵坐标不变）得到曲线C₂，A为C₁与x轴正半轴的交点，直线l经过点A且倾斜角为30°，记l与曲线C₁的另一交点为B，与曲线C₂在一、三象限的交点分别为C，D．
（1）写出曲线C₂的普通方程及直线l的参数方程；
（2）求|AC|-|BD|．

Answer 1

分析 （1）设曲线C₁上一点为（m，n），曲线C₂上一点坐标为（x，y），由题意可得x=$\sqrt{2}$m，y=n，求得m，n，代入圆的方程，可得
曲线C₂的方程；求得交点A（1，0），运用直线的参数方程，可得所求；
（2）联立直线l的方程和圆的方程，求得B的坐标，AB的距离；再由直线的参数方程代入椭圆方程，运用韦达定理，化|AC|-|BD|=|AC|-（|AD|-|AB|）=|AC|-|AD|+|AB|=|t₁|-|t₂|+$\sqrt{3}$，去绝对值，即可得到所求值．

解答 解：（1）设曲线C₁上一点为（m，n），
曲线C₂上一点坐标为（x，y），
由题意可得x=$\sqrt{2}$m，y=n，
即为m=$\frac{x}{\sqrt{2}}$，n=y，
代入曲线C₁：x²+y²=1，可得
曲线C₂的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
由题意可得A（1，0），
直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数）．
（2）联立直线l的方程和曲线C₁：x²+y²=1，
可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x-1）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
解得x=1或x=-$\frac{1}{2}$．
即有B（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．|AB|=$\sqrt{（1+\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$．
将直线l的参数方程代入曲线C₂，可得
（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）²+$\frac{1}{2}$t²=2，即为5t²+4$\sqrt{3}$t-4=0，
即有t₁+t₂=-$\frac{4\sqrt{3}}{5}$，t₁t₂=-$\frac{4}{5}$，
由|AC|-|BD|=|AC|-（|AD|-|AB|）=|AC|-|AD|+|AB|=|t₁|-|t₂|+$\sqrt{3}$，
可设t₁＞0，t₂＜0，可得|AC|-|BD|=t₁+t₂+$\sqrt{3}$=-$\frac{4\sqrt{3}}{5}$+$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法，考查直线的参数方程的求法和应用，注意参数法几何意义，同时考查直线和圆方程的联立，考查运算能力，属于中档题．