Question

20．在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，则下列命题中：
①曲线W关于原点对称；            
②曲线W关于x轴对称；
③曲线W关于y轴对称；            
④曲线W关于直线y=x对称
所有真命题的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据距离相等列出方程化简求出y关于x的函数，作出图象即可得出结论．

解答 解：曲线W的轨迹方程为|x|+|y|=$\sqrt{（x-1）^{2}+（y-1）^{2}}$，
两边平方得：2|xy|=-2x-2y+2，
即|xy|+x+y=1，
①若xy＞0，则xy+x+y+1=2，即（x+1）（y+1）=2，
∴y=$\frac{2}{x+1}-1$，函数为以（-1，-1）为中心的双曲线的一支，
②若xy＜0，则xy-x-y+1=0，即（x-1）（y-1）=0，
∴x=1（y＜0）或y=1（x＜0）．
作出图象如图所示：
∴曲线W关于直线y=x对称；
故选A．

点评 本题考查了轨迹方程的求解，函数图象的对称性，属于中档题．