Question

15．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=16，AA₁=8，BC=10，点E，F 分别在A₁B₁C₁D₁上，A₁E=D₁F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGH．
（I）在图中画出这个正方形EFGH（不必说明画法和理由），并说明G，H在棱上的具体
位置；
（II）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．

Answer 1

分析 （I）过E作EM⊥AB于M，由勾股定理可得MH=6，从而确定出G，H的位置；
（II）两部分均为底面为梯形的直棱柱，代入棱柱的体积公式求出两部分的体积即可得出体积比．

解答 解：（I）作出图形如图所示：
过E作EM⊥AB于M，
∵四边形EFGH为正方形，∴EH=EF=BC=10，
∵EM=AA₁=8，
∴MH=$\sqrt{E{H}^{2}-E{M}^{2}}$=6，
∴AH=AM+MH=10，∴DG=10，
即H在棱AB上，G在棱CD上，且AH=DG=10．
（II）设平面α把该长方体分成的两部分体积分别为V₁，V₂，
则V₁=S${\;}_{梯形A{A}_{1}EH}$•AD=$\frac{1}{2}$×（4+10）×8×10=560，
V₂=V_长方体-V₁=16×8×10-560=720．
∴$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{560}{720}$=$\frac{7}{9}$．

点评 本题考查了棱柱的体积计算，属于基础题．