Question

5．已知a＞0，函数f（x）=-2asin（2x+$\frac{π}{6}$）+2a+b，当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，-5≤f（x）≤1．
（1）求常数a，b的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）指出所求函数图象是由f（x）=sinx的图象如何变换得到的．

Answer 1

分析 （1）由x的范围可得2x+$\frac{π}{6}$的范围，由最值可得可得ab的方程组，解方程组可得a，b的值；
（2）由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得f（x）的单调递增区间，由$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，即可解得单调递减区间．
（3）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．

解答 （本小题14分）
解：（1）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7}{6}$π，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
又∵a＞0，-5≤f（x）≤1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2a+2a+b=-5}\\{a+2a+b=1}\end{array}\right.$，
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
（2）f（x）=-4sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1，
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，得：-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，得：$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2}{3}$π+kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为：[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2}{3}$π+kπ]（k∈Z），单调递减区间为：[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]（k∈Z）．
（3）将函数f（x）=sinx的图象向右移动$\frac{π}{6}$个单位，
再纵坐标不变横坐标缩短为原来的一半，
再横坐标不变纵坐标扩大为原来的4倍，
而后将图象关于x轴对称，然后将其再向下移动一个单位即可得到所求函数图象．

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的最值，正弦函数的单调性，考查了数形结合思想，属于基础题．