Question

14．（1）求证：$\sqrt{2}$是无理数．
（2）设a，b，c为一个三角形的三边，且s²=2ab，这里s=$\frac{1}{2}$（a+b+c），试证：s＜2a．

Answer 1

分析 （1）利用反证法进行证明；
（2）由a，b，c为一个三角形的三边，可得a+c＞b，s＞b，故s²＞sb，即2ab＞sb，从而证得s＜2a．

解答 证明：（1）假设$\sqrt{2}$是有理数，那么就有两个互素整数m，n使得$\sqrt{2}$=$\frac{m}{n}$，即m=$\sqrt{2}$n．
两边平方得：m²=2n²．
∴m²是偶数，从而m也是偶数，
令m=2q，代入上式得：2q²=n²．  
于是n也是偶数．这与前面假设m，n互素矛盾
故$\sqrt{2}$不可能是有理数．
（2）∵a，b，c为一个三角形的三边，∴a+c＞b． 
∵s=$\frac{1}{2}$（a+b+c），
∴s＞b，∴s²＞sb．
又s²=2ab，∴2ab＞sb，
∴s＜2a．

点评 本题考查（1）反证法的运用，（2）考查三角形的任意两边之和大于第三边，不等式的性质的应用，证得s＞b，是解题的关键．