Question

4．已知点F₁是抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点，点F₂为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过F₂作抛物线C的切线，切点为A，若点A恰好在以F₁，F₂为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$+1
• D． $\sqrt{2}$+1

Answer 1

分析 根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得k的值，设出双曲线方程，求得2a=丨AF₂丨-丨AF₁丨=（$\sqrt{2}$-1）p，利用双曲线的离心率公式求得e．

解答 解：直线F₂A的直线方程为：y=kx-$\frac{p}{2}$，F₁（0，$\frac{p}{2}$），F₂（0，-$\frac{p}{2}$），
代入抛物线C：x²=2py方程，整理得：x²-2pkx+p²=0，
∴△=4k²p²-4p²=0，解得：k=±1，
∴A（p，$\frac{p}{2}$），设双曲线方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
丨AF₁丨=p，丨AF₂丨=$\sqrt{{p}^{2}+{p}^{2}}$=$\sqrt{2}$p，
2a=丨AF₂丨-丨AF₁丨=（$\sqrt{2}$-1）p，
2c=p，
∴离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$=$\sqrt{2}$+1，
故答案选：D．

点评 本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题．