Question

16．函数f（x）=a²lnx+x²-3ax在x=1处取到极小值，则实数a的值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 1或$\frac{1}{2}$
• D． 1或2

Answer 1

分析 求出函数的导数，计算f′（1）=0，求出a的值检验即可．

解答 解：f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{{a}^{2}}{x}$+2x-3a，f′（1）=a²-3a+2=0，
解得：a=1或2，
a=1时，f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-3x+1}{x}$=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜1，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递增，在（$\frac{1}{2}$，1）递减，在（1，+∞）递增，
故x=1是函数的极小值点，符合题意；
a=2时，f′（x）=$\frac{2（x-1）（x-2）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，2）递减，在（2，+∞）递增，
故x=1是函数的极大值点，不符合题意；
故a=1，
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．