Question

1．过抛物线y²=4x的焦点作直线与其交于M、N两点，作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为y²=4（x-2）．

Answer 1

分析 先求出焦点的坐标，用待定系数法将MN所在的直线方程设出来，得到其参数方程，与抛物线方程联立得到M，N的横纵坐标所满足的参数方程x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，再利用平行四边形对角线交于中点的性质，求出点P（x，y），的参数方程，消参数后即可得到点P的横纵坐标所满足的方程，

解答 解：由已知抛物线y²=4x，故焦点坐标为（1，0）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∵平行四边形MONP，
∴可设线段MN与线段OP的交点为H（x′，y′），P（x，y），
由平行四边形的性质，H是OP的中点，
∴x′=$\frac{1}{2}$x，y′=$\frac{1}{2}$y     ①
当直线MN的方程为x=1时，中点就是F，此时P点的坐标为（2，0）
当直线的斜率存在在时，设斜率为k，则直线MN的方程可设为y=k（x-1）
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$得k²x²-2k²x+k²=4x，整理得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∵M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，
故y₁+y₂=k（x₁-1）+k（x₂-1）=k（x₁+x₂）-2k=k×$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$）-2k=$\frac{4}{k}$
M，N的中点为H，故有x′=$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$，y′=$\frac{2}{k}$
又由①，可得x=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，y=$\frac{4}{k}$
两式联立消去k得x=2+$\frac{{y}^{2}}{4}$，整理得y²=4（x-2），
验证知（2，0）在y²=4（x-2）上．
故答案为：y²=4（x-2）．

点评 本题考查代入法求轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．