Question

9．如图，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M为PC中点．   
（1）求证：AP∥平面MBD；
（2）若AD⊥PB，PD=CD，求直线MB和平面ABCD所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）连结AC，交BD于点O，连结OM，证明AP∥OM，然后证明AP∥平面MBD．
（2）设H是CD的中点，连结MH，证明MH⊥平面ABCD，连结BH，说明∠MBH是直线MB和平面ABCD所成的角，然后求解∠MBH=45°，得到直线MB和平面ABCD所成角的大小．

解答 证明：（1）连结AC，交BD于点O，连结OM，
因为O，M分别是线段AC，PC的中点，
所以OM是△PAC的中位线，所以AP∥OM，
又AP?面MBD，OM?面MBD，
所以AP∥平面MBD．（5分）

解：（2）设H是CD的中点，连结MH，
因为M为PC的中点，所以MH是△PCD的中位线，
PD∥MH，
因为PD⊥平面ABCD，所以MH⊥平面ABCD，
连结BH，则BH是MB在平面ABCD内的射影，
所以∠MBH是直线MB和平面ABCD所成的角，
因为AD⊥PB，BD是PB在平面ABCD内的射影，
所以AD⊥BD，又BC∥AD，所以BC⊥BD，
所以BH=$\frac{1}{2}$CD，又MH=$\frac{1}{2}$PD，
由已知PD=CD，所以BH=MH．
所以∠MBH=45°，
即直线MB和平面ABCD所成角的大小为45°．（12分）

点评 本题考查直线与平面市场价的大小的求法，直线与平面平行的判断，考查空间想象能力以及计算能力．