Question

19．设f（x）=（x²-$\frac{3}{m}$x+$\frac{5}{m^2}$）e^mx，其中m≠0．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若g（x）=f（x）-$\frac{1}{m}$x-5恰有两个零点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x），判断f′（x）的符号得出f（x）的单调性；
（2）令g（x）=0得f（x）=$\frac{1}{m}x+5$，根据f（x）与y=$\frac{1}{m}x+5$有两个交点及两函数的单调性可得f（0）＜5，从而解出m的范围．

解答 解：（1）f′（x）=（2x-$\frac{3}{m}$）e^mx+m（x²-$\frac{3}{m}x$+$\frac{5}{{m}^{2}}$）e^mx=e^mx（mx²-x+$\frac{2}{m}$）．
设h（x）=mx²-x+$\frac{2}{m}$，则△=1-8=-7＜0，
∴当m＞0时，h（x）＞0，当m＜0时，h（x）＜0．
∵e^mx＞0，
∴当m＞0时，f′（x）＞0，当m＜0时，f′（x）＜0．
∴当m＞0时，f（x）为增函数，当m＜0时，f（x）为减函数．
（2）令g（x）=0得f（x）=$\frac{1}{m}x+5$，
设F（x）=$\frac{1}{m}x+5$，则F（x）过点（0，5），又f（0）=$\frac{5}{{m}^{2}}$，
∵g（x）有两个零点，∴f（x）与F（x）的函数图象有两个交点，
∴$\frac{5}{{m}^{2}}＜5$，解得m＞1或m＜-1．

点评 本题考查了函数单调性与导数的关系，函数零点与函数图象的关系，属于中档题．