Question

10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ） $（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的最小正周期为2，且当x=$\frac{1}{3}$时，f（x）取得最大值2．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）在闭区间[$\frac{21}{4}$，$\frac{23}{4}$]上是否存在f（x）图象的对称轴？如果存在，求出对称轴方程；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的周期性，最值性，求出A，ω和φ的值的值即可求f（x）的解析式；（2）求出函数的对称轴，解不等式即可．

解答 解：（1）∵函数的最小正周期为2，
∴$\frac{2π}{ω}$=2，即ω=π，
∵当x=$\frac{1}{3}$时，f（x）的最大值为2，
∴A=2，
此时f（x）=2sin（πx+φ），
且f（$\frac{1}{3}$）=2sin（π×$\frac{1}{3}$+φ）=2，
即sin（$\frac{1}{3}$π+φ）=1，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，
则f（x）=2sin（πx+2kπ+$\frac{π}{6}$）=2sin（πx+$\frac{π}{6}$）．
（2）由πx+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，
得x=k+$\frac{1}{3}$，即函数的对称轴为x=k+$\frac{1}{3}$，
由$\frac{21}{4}$≤k+$\frac{1}{3}$≤$\frac{23}{4}$，
即$\frac{21}{4}$-$\frac{1}{3}$≤k≤$\frac{23}{4}$-$\frac{1}{3}$，
即$\frac{59}{12}$≤k≤$\frac{65}{12}$，
∵k∈Z，
∴k=5，
故在闭区间[$\frac{21}{4}$，$\frac{23}{4}$]上是存在f（x）的对称轴，
其方程是x=$\frac{16}{3}$．

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数对称轴的求解，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．