Question

18．△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且（$\overrightarrow{AB}$）²=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$．
（Ⅰ）判断△ABC的形状；
（Ⅱ）若不等式a²（b+c）+b²（c+a）+c²（a+b）≥kabc对任意的满足题意的a，b，c都成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（$\overrightarrow{AB}$）²=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$．可得c²=bccosA+accosb+abcosc，利用余弦定理化简即可判断出结论．
（Ⅱ）在直角△ABC中，a=csinA，b=ccosA．由a²（b+c）+b²（c+a）+c²（a+b）≥kabc，对任意的满足题意的a、b、c都成立，则$\frac{{a}^{2}（b+c）+{b}^{2}（c+a）+{c}^{2}（a+b）}{abc}$≥k，对任意的满足题意的a、b、c都成立，利用正弦定理化为：$\frac{{a}^{2}（b+c）+{b}^{2}（c+a）+{c}^{2}（a+b）}{abc}$=cosA+sinA+$\frac{1+cosA+sinA}{sinAcosA}$，令t=sinA+cosA，t∈$（1，\sqrt{2}]$，设f（t）=$\frac{{a}^{2}（b+c）+{b}^{2}（c+a）+{c}^{2}（a+b）}{abc}$=t+$\frac{1+t}{\frac{{t}^{2}-1}{2}}$，变形利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵（$\overrightarrow{AB}$）²=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$．
∴c²=bccosA+accosb+abcosc，
由余弦定理知：c²=bccosA+accosb+abcosc=$\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2}$+$\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2}$+$\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2}$=$\frac{{{a^2}+{b^2}+{c^2}}}{2}$
从而a²+b²=c²，∴△ABC 是以C为直角顶点的直角三角形．
（Ⅱ）在直角△ABC中，a=csinA，b=ccosA．
若a²（b+c）+b²（c+a）+c²（a+b）≥kabc，对任意的满足题意的a、b、c都成立，
则$\frac{{a}^{2}（b+c）+{b}^{2}（c+a）+{c}^{2}（a+b）}{abc}$≥k，对任意的满足题意的a、b、c都成立，
∵$\frac{{a}^{2}（b+c）+{b}^{2}（c+a）+{c}^{2}（a+b）}{abc}$≥k，
=$\frac{1}{{c}^{3}sinAcosA}$[c²sin²A（ccosA+c）+c²cos²A（csinA+c）+c²（csinA+ccosA）]
=$\frac{1}{sinAcosA}$[sin²AcosA+cos²A sinA+1+cosA+sinA]=cosA+sinA+$\frac{1+cosA+sinA}{sinAcosA}$
令t=sinA+cosA，t∈$（1，\sqrt{2}]$，
设f（t）=$\frac{{a}^{2}（b+c）+{b}^{2}（c+a）+{c}^{2}（a+b）}{abc}$=t+$\frac{1+t}{\frac{{t}^{2}-1}{2}}$=t+$\frac{2}{t-1}$=t-1+$\frac{2}{t-1}$+1．
f（t）=t-1+$\frac{2}{t-1}$+1，当t-1∈$（0，\sqrt{2}-1]$时f（t）为单调递减函数，
∴当t=$\sqrt{2}$时取得最小值，最小值为2+3$\sqrt{2}$，即k≤2+3$\sqrt{2}$．
∴k的取值范围为（-∞，2+3$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．