Question

3．已知不等式ax²+2x+c＞0的解集为{x|-$\frac{1}{3}$＜x＜$\frac{1}{2}$}．
（Ⅰ）求a、c的值；
（Ⅱ）解不等式cx²-2x+a＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由于不等式ax²+2x+c＞0的解集为{x|-$\frac{1}{3}$＜x＜$\frac{1}{2}$}．所以-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$是方程ax²+2x+c=0的两根，且a＜0，利用根与系数的关系即可求出；
（Ⅱ）不等式cx²-2x+a＜0可化为x²-x-6＜0即可解出．

解答 解：（Ⅰ）由ax²+2x+c＞0的解集为$\{x|-\frac{1}{3}＜x＜\frac{1}{2}\}$，
∴知a＜0，且方程ax²+2x+c=0的两根为${x_1}=-\frac{1}{3}，{x_2}=\frac{1}{2}$．
由根与系数的关系得$\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=-\frac{2}{a}\\-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{c}{a}\end{array}\right.$，
由此得a=-12，c=2．
（Ⅱ）不等式cx²-2x+a＜0可化为x²-x-6＜0，
解得-2＜x＜3．
所以不等式的解集为{x|-2＜x＜3}．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．