Question

8．抛物线y²=2x与直线l相交于A，B两点，且$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，则直线恒过定点（2，0）．

Answer 1

分析 设直线l：x=my+b，代入抛物线y²=2x，利用韦达定理及向量数量积公式即可得到结论．

解答 解：设直线l：x=my+b，代入抛物线y²=2x，可得y²-2my-2b=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2b，
∴x₁x₂=（my₁+b）（my₂+b）=b²，
∵OA⊥OB，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=b²-2b=0，
∵b≠0，
∴b=2，
∴直线l：x=my+2，
∴直线l过定点（2，0）．
故答案为：（2，0）．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，正确运用韦达定理是关键．