Question

19．已知$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{b}$=（cosβ，sinβ）（-$\frac{π}{2}$＜α＜0，0＜β＜$\frac{π}{2}$）且$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．
（1）求cos（α-β）的值；     
 （2）若$cosα=\frac{12}{13}$，求cosβ的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量的坐标表示求得$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，由模长公式可知$\sqrt{2-2cos（α-β）}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，即可求得cos（α-β）的值；
（2）由-$\frac{π}{2}$＜α＜0，0＜β＜$\frac{π}{2}$，求得-π＜α-β＜0，由同角三角函数基本关系求得sin（α-β）及sinα的值，cosβ=cos[α-（α-β）]，根据两角和的余弦公式即可即可求得cosβ的值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（cosα-cosβ，sinα-sinβ），
丨$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$丨=$\sqrt{（cosα-cosβ）^{2}+（sinα-sinβ）^{2}}$，
=$\sqrt{2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）}$，
=$\sqrt{2-2cos（α-β）}$，
2-2cos（α-β）=$\frac{2}{5}$，
∴cos（α-β）=$\frac{4}{5}$；
（2）∵-$\frac{π}{2}$＜α＜0，0＜β＜$\frac{π}{2}$，
∴-π＜α-β＜0，
∴sin（α-β）＜0，sin（α-β）=-$\sqrt{1-co{s}^{2}（α-β）}$=-$\frac{3}{5}$，
$cosα=\frac{12}{13}$，sinα=-$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=-$\frac{5}{13}$，
cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β），
=$\frac{12}{13}$×$\frac{4}{5}$+（-$\frac{5}{13}$）×（-$\frac{3}{5}$）
=$\frac{63}{65}$，
∴cosβ=$\frac{63}{65}$．

点评 本题考查两角和差余弦公式，向量的坐标表示、模长公式及同角三角函数基本关系，考查计算能力，属于中档题．