Question

10．设数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=2-2S_n；数列{a_n}为等差数列，且a₅=10，a₇=14．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=$\frac{1}{4}$a_nb_n，T_n为数列{c_n}的前n项和．求T_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的性质求出公差d，代入通项公式得出a_n，利用b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$证明{b_n}为等比数列，从而得出b_n；
（2）利用错位相减法求出T_n．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，则$d=\frac{{{a_7}-{a_5}}}{2}=2$，
∴a_n=a₅+（n-5）d=2n，
∵b_n=2-2S_n，
当n=1，则b₁=2-2b₁，解得${b_1}=\frac{2}{3}$．
当n≥2时，由b_n=2-2S_n，∴b_n-1=2-2S_n-1，
∴b_n-b_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2b_n．∴$\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}=\frac{1}{3}$．
∴{b_n}是以${b_1}=\frac{2}{3}$为首项，$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
∴${b_n}=2•\frac{1}{3^n}$．
（2）${c_n}=\frac{1}{4}{a_n}{b_n}=\frac{1}{4}•2n•\frac{2}{3^n}=\frac{n}{3^n}$，
∴${T_n}=\frac{1}{3}+2•\frac{1}{3^2}+3•\frac{1}{3^3}+…+n•\frac{1}{3^n}$，①
∴$\frac{1}{3}{T_n}=\;1•\frac{1}{3^2}+2•\frac{1}{3^3}+…+（n-1）•\frac{1}{3^n}+n•\frac{1}{{{3^{n+1}}}}$，②
①-②得：$\frac{2}{3}{T_n}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+…+\frac{1}{3^n}-n•\frac{1}{{{3^{n+1}}}}$=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{3^n}}）-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}=\frac{1}{2}-\frac{2n+3}{6}\frac{1}{3^n}$，
∴${T_n}=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{4}•\frac{1}{3^n}$．

点评 本题考查了等差数列的性质，等比数列的判断与错位相减法求和，属于中档题．