Question

20．（1）证明：C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m；
（2）证明：C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n•2^n-1．

Answer 1

分析 （1）三种方法：法一：直接利用组合数的计算公式即可证明．
法二：（构造）从一个装有n个不同的红球和1个黄球的口袋中取出m个不同球，共得到$C_{n+1}^m$个不同组合，我们可将这些组合分成两类：一类全是红球，则从n个红球中取m个不同的球；一类含有黄球，则从n个红球中再取出m-1个，即可得出．
法三（构造）分别求（1+x）ⁿ⁺¹和（1+x）（1+x）ⁿ的展开式中x^m的系数，利用二项式定理的展开式即可得出．
（2）法一：倒序相加法；
法二：公式法：利用公式$rC_n^r=nC_{n-1}^{r-1}$和$C_n^0+C_n^1+…+C_n^n={2^n}$，即可证明．
法三：构造函数f （x）=（1+x）ⁿ=$C_n^0+C_n^1x+C_n^2{x^2}+…+C_n^nx_{\;}^n$，两边求导得：令x=1即可证明．

解答 证明：（1）三种方法：法一：直接代公式：C_n^m+C_n^m-1=$\frac{n!}{m!（n-m）!}$+$\frac{n!}{（m-1）!（n-m+1）!}$=$\frac{n！（n-m+1）}{m!（n-m+1）!}$+$\frac{n!m}{m!（n-m+1）!}$=$\frac{（n+1）•n!}{m!（n-m+1）!}$=$\frac{（n+1）!}{m!（n+1-m）!}$，
又C_n+1^m=$\frac{（n+1）!}{m!（n+1-m）!}$，∴C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m．
法二：（构造）从一个装有n个不同的红球和1个黄球的口袋中取出m个不同球，共得到$C_{n+1}^m$个不同组合，我们可将这些组合分成两类：一类全是红球，则从n个红球中取，可得到$C_n^m$个不同组合；一类含有黄球，则从n个红球中再取出m-1个，则得到$C_n^{m-1}$个不同组合，所以$C_n^m+C_n^{m-1}=C_{n+1}^m$．
法三（构造）分别求（1+x）ⁿ⁺¹和（1+x）（1+x）ⁿ的展开式中x^m的系数，
（1+x）ⁿ⁺¹的展开式中x^m的系数为$C_{n+1}^m$；
（1+x）（1+x）ⁿ=（1+x）（$C_n^0+C_n^1x+…+C_n^{m-1}x_{\;}^{m-1}+C_n^m{x^m}+…+C_n^nx_{\;}^n$）的展开式中x^m的系数为1×$C_n^m$+1×$C_n^{m-1}$=$C_n^m$+$C_n^{m-1}$，
∵（1+x）ⁿ⁺¹=（1+x）（1+x）ⁿ，∴展开式中x^m的系数也相等，∴$C_n^m+C_n^{m-1}=C_{n+1}^m$．
（2）法一：倒序相加法：f（n）=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，f（n）=nC_nⁿ+（n-1）${∁}_{n}^{n-1}$…+3C_n³+2C_n²+C_n¹，∴2f（n）=nC_nⁿ+（n-1+1）${∁}_{n}^{1}$+…+（1+n-1）${∁}_{n}^{n-1}$+n${∁}_{n}^{n}$
=n（${∁}_{n}^{0}$+${∁}_{n}^{1}$+…+${∁}_{n}^{n-1}$+${∁}_{n}^{n}$）=n•2ⁿ，∴f（n）=n•2^n-1．
法二：公式法：利用公式$rC_n^r=nC_{n-1}^{r-1}$，则C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n${∁}_{n-1}^{0}$+n${∁}_{n-1}^{1}$+…+n${∁}_{n-1}^{n-1}$=n（${∁}_{n-1}^{0}$+${∁}_{n-1}^{1}$+…+${∁}_{n-1}^{n-1}$）=n•2^n-1，
∴C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n•2^n-1．
法三：构造函数f （x）=（1+x）ⁿ=$C_n^0+C_n^1x+C_n^2{x^2}+…+C_n^nx_{\;}^n$，两边求导得：$n{（1+x）^{n-1}}=C_n^1+2C_n^2{x^1}+3C_n^3{x^2}…+nC_n^nx_{\;}^{n-1}$
令x=1得：$C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+…+nC_n^n=n•{2^{n-1}}$成立．

点评 本题考查了二项式定理展开式的系数的性质、组合数的性质、组合数的计算公式、“倒叙相加法”、“构造法”、“导数法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．