Question

15．已知△ABC的内角B满足2cos2B-8cosB+5=0，若$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{CA}$=$\vec b$且$\overrightarrow a，\vec b$满足：$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-9，$|{\overrightarrow a}|=3，|{\vec b}$|=5，θ为$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角．
（Ⅰ）求∠B；
（Ⅱ）求sin（B+C）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据二倍角公式即可到关于cosB的一个方程，解得即可；
（Ⅱ）根据向量的夹角公式和两角和的正弦公式计算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵2cos2B-8cosB+5=0，
∴2（2cos²B-1）-8cosB+5=0，
∴4cos²B-8cosB+3=0
∴$cosB=\frac{1}{2}$或cosB=$\frac{3}{2}$（舍去）
又角B是△ABC的内角，
∴$B=\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-9，$|{\overrightarrow a}|=3，|{\vec b}$|=5，θ为$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=-$\frac{3}{5}$，
∵C=π-θ，
∴cosC=$\frac{3}{5}$，sinC=$\frac{4}{5}$，
∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$

点评 本题考查了二倍角公式和两角和的正弦公式和向量的夹角公式，属于中档题．