Question

5．某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如表：
女性用户：

分值区间	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
频数	20	40	80	50	10

男性用户

分值区间	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
频数	45	75	90	60	30

（Ⅰ）如果评分不低于70分，就表示该用户对手机“认可”，否则就表示“不认可”，完成下列2×2列联表，并回答是否有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关；

	女性用户	男性用户	合计
“认可”手机
“不认可”手机
合计

P（X2≥k）	0.05	0.01
k	3.841	6.635

X²=$\frac{n（{n}_{11}{n}_{22}-{n}_{12}{n}_{21}）^{2}}{{n}_{1+}{n}_{2+}{n}_{+1}{n}_{+2}}$
（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用数据直接填写联列表即可，求出X²，即可回答是否有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关；
（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于8（0分）有6人，其中评分小于9（0分）的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于9（0分）的人数为X，则X取值为1，2，3，求出相应概率，得到X的分布列，然后求解期望．

解答 解：（Ⅰ）2×2列联表如下图：

	女性用户	男性用户	合计
“认可”手机	140	180	320
“不认可”手机	60	120	180
合计	200	300	500

…（3分）
${Χ^2}=\frac{{500{{（140×120-180×60）}^2}}}{200×300×320×180}≈5.208＞3.841$，
所以有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关．…（6分）
（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于8（0分）有6人，其中评分小于9（0分）的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于9（0分）的人数为X，则X取值为1，2，3，$P（X=1）=\frac{C_4^1C_2^2}{C_6^3}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$；$P（X=2）=\frac{C_4^2C_2^1}{C_6^3}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$；$P（X=3）=\frac{C_4^3C_2^2}{C_6^3}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$．
…（9分）
所以X的分布列为

X	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

$EX=\frac{4}{6}×3=2$或$EX=\frac{1}{5}+\frac{6}{5}+\frac{3}{5}=2$．…（12分）

点评 本题考查独立检验以及离散性随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．