Question

16．（1）已知函数f（x）=x²（x-a），若f（x）在（2，3）上单调递减，求实数a的取值范围；
（2）已知函数f（x）=x³-3ax²+2a²x+1在[0，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）在（2，3）上单调递减，可得f′（x）≤0，化为：a≤$\frac{3}{2}x$，利用一次函数的单调性即可得出最小值．
（2）f′（x）=3x²-6ax+2a²=g（x），由f（x）在[0，2]上单调递增，可得f′（x）≥0，x∈[0，2]，利用二次函数的单调性图象与性质可得$\left\{\begin{array}{l}{g（2）≥0}\\{2a≥2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{g（0）≥0}\\{2a≤0}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：（1）f（x）=x²（x-a）=x³-ax²，
∴f′（x）=3x²-2ax，
∵f（x）在（2，3）上单调递减，
∴f′（x）≤0，x∈（2，3），
化为：a≤$\frac{3}{2}x$，
∴a≤3．
∴实数a的取值范围是（-∞，3]．
（2）f′（x）=3x²-6ax+2a²=g（x），
∵f（x）在[0，2]上单调递增，
∴f′（x）≥0，x∈[0，2]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（2）≥0}\\{2a≥2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{g（0）≥0}\\{2a≤0}\end{array}\right.$，
解得：a≥1，或a≤0．
∴实数a的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、二次函数与一次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．